Ponente
Descripción
Este trabajo realiza experimentos buscando métodos iterativos precondicionados para sistemas lineales dispersos que superen el estancamiento para la resolución numérica de la ecuación unidimensional de Poisson con condiciones de frontera de Robin, discretizada con un método mimético de segundo orden, basado en el operador mimético 1D Castillo-Grone. Al refinar la malla de discretización, solo un precondicionador apropiado permitirá que el método iterativo del sistema lineal asociado logre la convergencia.
Resultados
La convergencia del GMRES ($10$) solo se logra con tamaño de discretización $h$ hasta $h=0.05$ usando precondicionador de Jacobi y $h=0.1$ usando SOR; para valores más pequeños de $h$ el GMRES($10$) diverge. Para BiCGStab la convergencia se mantiene hasta $h=0,001$, pero para valores más pequeños, BiCGStab también diverge. El método BiCGStab tiene un mal desempeño al principio, incluso con un crecimiento de la norma residual, pero luego se logra una rápida disminución. Por otro lado, el GMRES reiniciado se caracteriza por su norma monótona no creciente, pero para este problema sólo el precondicionamiento con SOR logra convergencia.
Objetivo
1) Construir matrices no singulares a partir de operadores miméticos de segundo orden para condiciones de contorno unidimensionales.
2) Comparar los resultados, en términos de convergencia a la solución del problema, entre diferentes métodos iterativos y precondicionadores implementados para sistemas lineales.
Metodología
Para resolver el sistema lineal $Au=f$ asociado con la discretización de este problema, utilizamos el GMRES reiniciado con $m=10$ y el BiCGStab como métodos iterativos. Además, se utilizan Jacobi y SOR con $\omega=1$ para intentar mejorar la convergencia.
Para cada valor de $h$ encontramos el error relativo $||u-u^*||/||u^*|| $, donde $u$ es la solución numérica aproximada por el método iterativo seleccionado más el precondicionador y $u^*$ es la solución analítica o exacta.
Introducción
El método Castillo-Grone permite la construcción de operadores diferenciales discretos, por ej. divergencia, gradiente, que son $O(h^k)$ precisos (para cualquier tamaño de malla de discretización $h$ y cada $k$ par) en los puntos interiores y la frontera del dominio. El objetivo de estos operadores miméticos es satisfacer en sentido discreto las leyes de conservación globales y vectoriales que cumple el modelo continuo, para hacer que el problema sea más preciso para las restricciones físicas.
| Area | Ingenierías, Matemáticas y Física |
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